Een paar maanden geleden schreef hoogleraar wiskunde Steven Strogatz twee columns in de New York Times genaamd Change We Can Believe In en It Slices, It Dices. De columns gaan over een tak van de wiskunde die in het Engels wordt aangeduid met het woord calculus maar in het Nederlands meestal analyse wordt genoemd. Deze tak richt zich op limiten, functies afgeleiden, integralen en oneindige reeksen. Analyse is de wiskunde van de verandering. Haar twee hoofdonderwerpen zijn differentiaalrekening en integraalrekening. Zonder een diepgaande uitleg te geven over deze twee onderwerpen volgt hier een korte inleiding.
Differentiaalrekening is de studie van de afgeleiden van functies. Het bereken van de afgeleide heet differentiëren. De afgeleide vertelt je hoe snel iets verandert, hoe ver je per stapje naar beneden of omhoog gaat op een helling. De afgeleide is een benadering van de helling van een grafiek (zie het plaatje rechts, bron: www.derivate.it). De afgeleide kan worden bereken voor ieder punt van een functie en dus ook voor alle punten tezamen wat leidt tot de afgeleide functie. Wanneer een helling omhoog gaat is de afgeleide positief, wanneer hij omlaag gaat negatief. Bij de toppen en dalen van een grafiek is de afgeleide nul. Op deze punten staat de verandering tijdelijk stil.
.jpg)
Integraalrekening is de studie van integralen die je vertelt hoeveel iets accumuleert. Het berekenen van de integraal is het meten van het gebeid onder de functiecurve (zie het plaatje rechts). Functies kunnen heel onregelmatige vormen hebben wat het moeilijk kan maken om eenvoudig te meten hoe groot dit gebied is. Wat integraalrekening doet om dit probleem op te lossen is het gebied in heel dunne plakjes snijden, het volume van die plakjes berekenen en deze dan op slimme wijze bij elkaar optellen. Terzijde: het bereken van de integraal is de omgekeerde bewerking van het berekenen van de afgeleide.
Dit is allemaal goed en wel maar is het op de één of andere manier relevant voor veranderprofessionals? Ik denk het wel. Zoals ik eerder al eens heb geschreven is mijn observatie dat veel mensen die met verandering te maken hebben, zoals consultants, projectmanagers, lijnmanagers en coaches, af en toe ontmoedigd raken over hoe het veranderproces vordert. Een kleine verandering in het perspectief van waaruit je kijkt naar de veranderresultaten kan heel behulpzaam zijn op zulke momenten. In mijn bericht Visualizing progress: expect fluctuation and watch the trend line legde ik dit als volgt uit.
Progressie verloopt zelden in een rechte lijn. Het plaatje rechts geeft een levensecht voorbeeld uit de praktijk van een verbeterproces. De rode lijn toont de werkelijke waarden die gevonden werden op bepaalde punten in de tijd (bijvoorbeeld verkoopcijfers). Zoals je ziet fluctueren de waarde steeds. De blauwe lijn is de trendlijn die toont dat er over de hele periode een langzame maar zekere verbetering plaatsvindt. De pijltjes wijzen het volgende aan: Pijl 1: eerst zijn er snelle resultaten, Pijl 2: een vrij hevige terugval, Pijl 3: opnieuw een snelle verbetering, Pijl 4: opnieuw een zware terugval waarna de verbetering weer intreedt. Het zou heel gemakkelijk zijn om ontmoedigd te raken als je je teveel concentreert op de fluctuaties, op de punten 2 en 4 met name. Twee dingen zijn belangrijk om te onthouden: 1) het is normaal dat verbetering dit soort fluctuatie vertoont, en 2) de trendlijn is belangrijk om de gaten te houden. Deze lijn toon je wat de daadwerkelijke vooruitgang per saldo is. De trendlijn is heel motiverend om te volgen.
De punten die Strogatz maakt zijn waardevolle aanvullingen op de punten die ik hierboven maak. Als je de uitleg over afgeleiden en integralen toepast op mijn oorspronkelijke grafiek krijg je het plaatje rechts. Laten we de principes eens toepassen op het potentieel meest deprimerende punt in de grafiek, namelijk punt 4. De rode lijn toont de afgeleide van punt 4, de gekleurde vlakken tonen de integralen tot aan punt 4. Beide geven reden voor hoop over de resultaten. De afgeleide (rode lijn) bij punt 4 laat zien dat de negatieve helling minder aan het worden is. Dit betekent dat de resultaten nog steeds slechter worden maar steeds minder snel. Dit kan er op wijzen dat de bodem in zicht is en dat een ombuiging naar een positieve helling eraan komt. De gekleurde vlakken tonen de integralen, de gebieden onder de curve. Het rode vlak visualiseert de optelling van alles dat is gerealiseerd van punt 0 tot punt 3. Zoals je ziet is het resultaat negatief. Het blauwe vlak visualiseert de optelling van alles wat bereikt is tussen punt 3 en 4. En hoewel bij punt 4 de werkelijk waarde bijna weer 0 is, kun je zien dat het netto resultaat op dat moment duidelijk positief is omdat het blauwe gebied veel groter is dan het rode. De gedachte dat alles voor niets is geweest, die mensen soms hebben omdat de werkelijke waarde weer zo laag is, is dus onterecht.
